عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي

علم ریاضی؛علم طبیعت وشناسایی محیط اطراف خود به صورت قانونمند است.استدلالات ریاضی از بطن طبیعت خیزش یافته است ,آن کس که به طبیعت احترام قائل است این علم را محترم می شمرد,هر چقدر دانش ودانایی وکنکاش نسبت به طبیعت و پدیده های اطراف آن بیشتر باشد ,قوانین و استدلالات این علم را بهتر درک خواهیم کرد؛آنجا که قوانین نسبت طلایی در صدف حلزون رونمایی می کند وآن را با استنتاجات ریاضی به اثبات میرسانیم متوجه رابطه عمیق این علم با طبیعت خواهیم شد همچنین نسبت طلایی در ثبات اندازه دست وپا و قد در بدن انسان که به یک نسبت ثابت تغییر میکنند ما را بیشتر متوجه رابطه این علم با انفس خویش می گرداند یا نمونه های بارز دیگر در طبیعت.

art air

در زمانهاي قديم هنرمندان يوناني به خوبي رياضي دانان مستطيل زيبايي مي شناختند كه از نظر هنري عرض 1 و طول X داشت در اين مستطيل هر وقت مربعي به ضلع 1 را از ان جدا كنند باز همان مستطيل با همان نسبتهاي مستطيل اصلي باقي ميماند .

چون مستطيل جديد عرض 1-X و طول 1 دارد و چون نسبت ضعلهاي دو مستطيل با هم برابر است :

حالا اگر در معادله ي بالا براي X حل كنيم ريشه ي مثبت معادله همان عدد طلايي است:

در دنياي رياضي اين عدد را با نشانه يوناني (خوانده ميشود في ) نمايش مي دهند .

آشنايي با نسبت طلايي:

پاره خطي را در نظر بگيريد و فرض کنيد که آنرا بگونه اي تقسيم کنيد که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. به شکل توجه کنيد. اگر اين معادله ساده يعني a2=a*b+b2 را حل کنيم (کافي است بجاي b عدد يک قرار دهيم بعد a را بدست آوريم) به نسبتي معادل تقريبا" 1.61803399 يا 1.618 خواهيم رسيد.

شايد باور نکنيد اما بسياري از طراحان و معماران بزرگ براي طراحي محصولات خود امروز از اين نسبت طلايي استفاده مي کنند. چرا که بنظر ميرسد ذهن انسان با اين نسبت انس دارد و راحت تر آنرا مي پذيرد. اين نسبت نه تنها توسط معماران و مهندسان براي طراحي استفاده مي شود بلکه در طبيعت نيز کاربردهاي بسياري دارد که به تدريج راجع به آن صحبت خواهيم کرد.

کپلر (Johannes Kepler 1571-1630) منجم معروف نيز علاقه بسياري به نسبت طلايي داشت بگونه اي که در يکي از کتابهاي خود اينگونه نوشت : "هندسه داراي دو گنج بسيار با اهميت مي باشد که يکي از آنها قضيه فيثاغورث و دومي رابطه تقسيم يک پاره خط با نسبت طلايي مي باشد. اولين گنج را مي توان به طلا و دومي را به جواهر تشبيه کرد".

تحقيقاتي که کپلر عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي راجع به مثلثي که اضلاع آن به نسبت اضلاع مثلث مصري باشد به حدي بود که امروزه اين مثلث به مثلث کپلر نيز معروف مي باشد. کپلر پي به روابط بسيار زيبايي ميان اجرام آسماني و اين نسبت طلايي پيدا کرد.

کاربرد هاي نسبت طلايي:

اهرام مصر يکي از قديمي ترين ساخته هاي بشري است که در آن هندسه و رياضيات بکار رفته شده است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت آنها به بيش از 2500 سال پيش از ميلاد مي رسد يکي از شاهکارهاي بشري است که در آن نسبت طلايي بکار رفته است. به اين شکل نگاه کنيد که در آن بزرگترين هرم از مجموعه اهرام Giza خيلي ساده کشيده شده است.

مثلث قائم الزاويه اي که با نسبت هاي اين هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قائم مصري يا Egyptian Triangle معروف هست و جالب اينجاست که بدانيد نسبت وتر به ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلايي يعني دقيقا" 1.61804 مي باشد. اين نسبت با عدد طلايي تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف دارد يعني چيزي حدود يک صد هزارم. باز توجه شما را به اين نکته جلب مي کنيم که اگر معادله فيثاغورث را براي اين مثلث قائم الزاويه بنويسم به معادله اي مانند phi2=phi+b2 خواهيم رسيد که حاصل جواب آن همان عدد معروف طلايي خواهد بود. (معمولا" عدد طلايي را با phi نمايش مي دهند)

طول وتر براي هرم واقعي حدود 356 متر و طول ضلع مربع قاعده حدودا" معادل 440 متر مي باشد بنابر اين نسبت 356 بر 220 (معادل نيم ضلع مربع) برابر با عدد 1.618 خواهد شد.

هرم " ريم پاپيروس " در اهرام ثلاثه يكي از قديمي ترين مثالها از استفاده از اين عدد در ساخت بناهاست .

اگر عرض يكي از شالهاي اين هرم را بر فاصله نوك هرم تا نقطه وسط كف هرم تقسيم كنيم جواب 1.6 خواهد بود .

باستان شناسان مطمئن نيستند كه ايا اين كار از قصد انجام شده يا اتفاقي بوده است !

مطلب جالب ديگر اين است كه اگر قطر اين هرم را به دوبرابر ارتفاع ان تقسيم كنيم جواب عدد پي (3.14) خواهد بود .

کليساي نوتردام در پاريس

مثال ديگر در بناي پارتنون در يونان وجود دارد .براي ساخت اين بنا كه در 440 BC ساخته شده است از مستطيل طلايي استفاده شده است.

آشنايي با نسبت طلايي،عدد طلايي(عدد في)،دنباله فيبوناتچي،حد دنباله فيبوناتچي،کاربرد نسبت طلايي وعدد طلايي و روش محاسبه ي آن

رشته اعداد فيبوناتچي:

لئوناردو فيبوناچي ايتاليايي حدود سال 1200 ميلادي مساله اي طرح كرد : فرض كنيد كه يك جفت خرگوش نر و ماده در پايان هر ماه يك جفت خرگوش نر و ماده جديد بدنيا بياورند . اگر هيچ خرگوشي از بين نرود , در پايان يك سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟؟؟

معماي زاد و ولد خرگوش!

در واقع فيبوناچي در سال 1202 به مسئله عجيبي علاقمند شد. او مي خواست بداند اگر يک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاري براي زاد و ولد آنها تعريف کند در نهايت نتيجه چگونه خواهد شد. فرضيات اينگونه بود :

- شما يک جفت خرگوش نر و ماده داريد که همين الآن بدنيا آمده اند.

- خرگوشها پس از يک ماه بالغ مي شوند.

- دوران بارداري خرگوشها يک ماه است.

- هنگامي که خرگوش ماده به سن بلوغ مي رسد حتما" باردار مي شود.

- در هر بار بارداري خرگوش ماده يک خرگوش نر و يک ماده بدنيا مي آورد.

- خرگوش ها هرگز نمي ميرند.

حال سئوال اينجاست که پس از گذشت يکسال چه تعداد خرگوش نر و چه تعداد خرگوش ماده خواهيم داشت؟

فيبوناچي تصميم گرفت براي محاسبه تعداد انها Fn را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض كند.

پس F1 =1 و F2 =2 خواهد بود . چون در شروع ماه اول فقط يك جفت اصلي وجود دارد. اما با شروع ماه دوم جفت اول جفت دوم را درست ميكند.

سپس او متوجه شد كه با شروع ماه N ام جفتها به دو گروه تقسيم مي شوند: Fn-1 تعداد جفتهاي قديمي و تعداد جفتهاي جديد پس از N-1 ماه است .چون جفت جديد پس از يك ماه توليد ميشود و بعد از يك ماه ديگر اولين جفت خود را توليد ميكند . تعداد جفتهاي جديد برابر تعداد جفتهاي دو ماه قبل است كه با Fn-1 نشان داده ميشود .

با استفاده از اين فورمول و مقادير اوليه F1 =1 و F2 =2 ميتوان تعداد جفتها را پس از يك سال بدست اورد و نوشت F12=233 .

سري اعداد Fn را دنباله فيبوناتچي مي نامند. با يك توافق عمومي مقادير اوليه از 1 و 1 بجاي 1و 2 شروع ميشود (بطوري كه جمله هاي دنباله بصورت زير نوشته ميشوند)

حد دنباله فيبوناتچي:

حالا اگر در اين دنباله هر عدد را به عدد قبليش تقسيم كنيم يك همچين سري را خواهيم داشت:

1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1?5, 5/3 = 1?666. 8/5 = 1?6, 13/8 = 1?625, 21/13 = 1?61538 و .

كه هرچه جلو بريم بنظر مي ايد كه به يك عدد مخصوص ميرسيم . براي بهتر ديدن موضوع به نمودار زير توجه كنيد:

ما اين عدد را عدد طلايي ميناميم كه اين عدد تقريبا برابر است با : . 1.618033

به عبارتي ديگر حد اين دنباله به عدد طلايي مي رسد.

بعدها محاسبات و استدلال هاي رياضي نشان داد که اين سري همگرا به سمت نسبت طلايي مي باشد و جمله عمومي آنرا با بتقريب مي توان اينگونه نمايش داد :

که در آن Phi عدد طلايي ميباشد. البته فرمول هاي دقيق ديگري وجود دارند که اعداد سري و يا اعداد بعدي ( Successor ) اين سري را نمايش مي دهند که دراين مطلب به آن نخواهيم پرداخت.

ه شکل زير نگاه کنيد و ببينيد که به چه زيبايي از کنار هم قرار دادن تعدادي مربع مي توان رشته فيبو ناچي را بصورت هندسي نمايش داد. حال اگر در هر يک از اين مربع ها از نقاط قرمز ربع دايره هايي رسم کنيم در نهايب به نوعي از مارپيچ حلزوني شکل مي رسيم که به مارپيچ فيبوناچي ( Fibonacci Spiral ) معروف مي باشد. بديهي است که نرخ رشد و باز شدن اين مارپيچ عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي متناسب با نرخ بزرگ شدن اعداد در سري فيبوناچي مي باشد.

سري فيبوناچي چه در رياضيات چه در فيزک و علوم طبيعي کاربردهاي بسيار ديگري دارد، ارتباط زيباي فاصله هاي خوش صدا در موسيقي، چگونگي تولد يک کهکشان و . که کاربرد اين سري جادويي را بيش از پيش نشان مي دهد.

طريقه رسم نسبت طلايي با گونيا و پرگار :

اره خط AB را در نظر بگيريد. مساله ما يافتن نقطه E بر روي اين پاره خط مي باشد به طوري که نسبت AE به EB يک نسبت طلايي باشد.

مرحله ۱ : از نقطه B خط BC را عمود بر آن طوري رسم کنيد که اندازه BC نصف اندازه AB باشد. ( به کمک پرگار مي توانيد اين کار را انجام بدهيد.)

مرحله ۲ : نقطه A را به نقطه C وصل کنيد.

مرحله ۳ : از نقطه C دايره اي به شعاع BC رسم کنيد. اين دايره خط AC را در نقطه D قطع مي کند.

مرحله ۴ : از نقطه A يک دايره به شعاع AD رسم کنيد. اين دايره خط AB را در نقطه E قطع مي کند به طوري که نسبت AE به EB همان نسبت طلايي است.

طريقه رسم مستطيل طلايي با گونيا و پرگار:

مستطيل CBGD را در نظر بگيريد. مساله ما يافتن مستطيلي است که نسبت اضلاع آن يک نسبت طلايي باشد.

مرحله ۱ : نقطه A را در وسط DG پيدا کنيد.

مرحله ۲ : از نقطه A يک دايره به شعاع AB رسم کنيد.

مرحله ۳ : خط DG را ادامه داده تا دايره به مرکز A را در نقطه E قطع کند. نسبت DE به DC همان نسبت طلايي است و مستطيل CFED يک مستطيل طلايي مي باشد.

نسبت طلايي در خوشنويسي:

استاد ميرعماد با پالايش خطوط پيشينيان و زدودن اضافات و ناخالصي‌ها از پيکره نستعليق و نزديک کردن شگرف نسبت‌هاي اجزاي حروف و کلمات، به اعلا درجه زيبايي يعني نسبت طلايي رسيد و قدمي اساسي در اعتلاي هنر نستعليق برداشت. با بررسي اکثريت قاطع حروف و کلمات ميرعماد متوجه مي‌‌شويم که اين نسبت به عنوان يک الگو در تار و پود حروف و واژه‌ها وجود دارد و زاويه ۴۴۸/۶۳ درجه که مبناي ترسيم مستطيل طلايي است، در شروع قلم گذاري و ادامه رانش قلم، حضوري تعيين کننده دارد. اين مهم قطعاً در سايه شعور و حس زيبايي‌شناسي وي حاصل آمده، نه آگاهي از فرمول تقسيم طلايي از ديدگاه هندسي و علوم رياضي. ميرعماد اين نسبت‌ها را نه تنها در اجزاي حروف بلکه در فاصله دو سطر و مجموعه دو سطر چليپاها و کادرهاي کتابت و قطعات رعايت مي‌‌کرده است.

نسبت طلايي در عکاسي:

ترکيب بندي تصوير، در کتابها و مجلات تخصصي عکاسي، اغلب به شکل يک نسخه تجويزي ارائه ميشود. انگار که پيروي از تعدادي قاعده ميتواند نتيجه قانع کننده اي را تضمين کند. شايد بهتر باشد اين قواعد را تنها به عنوان چکيده ايده هايي در نظر گرفت که عکاسان (و البته نقاشان و ساير هنرمندان قرنها پيش از اختراع دوربين) آنها را براي خلق يک تصوير تاثير گذار، مفيد يافته اند.

هر ترکيب بندي عکسي را ميتوان کارآمد دانست به شرط اين که عناصر صحنه به طور موثر با بينندگان مورد نظر آن عکس، ارتباط برقرار کند. در اغلب موارد، نکته اساسي در شناسايي عناصر کليدي صحنه نهفته است تا با تنظيم محل دوربين و ميزان نور دهي، آنها را از دل ساير اطلاعات تصويري متفرقه، بيرون بکشيد. همين اشياء مزاحم، بسياري از عکسها را خراب ميکنند. اگر عکاسي را تازه شروع کرده ايد، بهتر است به جاي تمرکز زياد روي جزييات خيلي خاص، تنها روي ساختار کلي صحنه تمرکز کنيد. چرا که تاثير آنها در مقابل ترکيب بندي عمومي عکس، بسيار سطحي است.

در اين مقاله به معرفي سه روش کاربردي در امر ترکيب بندي تصوير پرداخته خواهد شد. در آغاز به معرفي کلي تکنيکي ميپردازيم که قرنهاست شناخته شده است يعني قانون تعادل (يا قانون طلايي - Golden Mean ). اين قانون در واقع يک فرمول هندسي است که توسط يوناني هاي باستان ابدا شده.استدلال بر اين است که ترکيب بندي اي که بر اساس اين تئوري تشکيل شده باشد، تاثيرگذار و قوي مينمايد. ايده اصلي که در پس اين تئوري است در واقع استفاده از خطوط هندسي است که به سادگي توسط چشم بيننده دنبال شوند. طي قرون متمادي، قانون تعادل (يا قانون طلايي - Golden Mean ) راهبردي مهم و ابزاري کارآمد براي هنرمندان و نقاشان به حساب مي آمد. امروزه با توجه به ارزش اين ابزار، آشنايي با آن به عکاسان نيز توصيه ميشود.

قانون يک سوم (خطوط و نقاط طلايي):

قانون يک سوم در واقع مختصر شده مفهوم طلايي است. فلسفه اصلي که در پشت اين مفهوم قرار دارد از يک ترکيب و کادر بندي متقارن و مستقر در مرکز کادر که معمولا کسل کننده است جلوگيري مي کند. 4 خط تقسيم کننده کادر، خطوط طلايي و محل برخورد اين خطوط، نقاط طلايي ناميده ميشوند. (شکل هاي شماره يک و دو)

از بين بردن تقارن با استفاده از قانون يک سوم به دو شکل مي تواند صورت بگيرد. در يک روش مي توان تصوير را به دو بخش مجزا تقسيم کرد به نحوي که يک قسمت يک سوم و قسمت ديگري دو سوم تصوير را شامل شود (شکل شماره يک).

در روشي ديگر، تمرکز مستقيما بر روي نقاط طلايي است. فرض کنيد که منظره اي بسيار زيبا و بديع پيش رو داريد اما اين منظره فاقد يک نماي هندسي و به اصطلاح Geometric خوب و جذاب است. به عبارت ديگر در عين اينکه منظره بسيار خاص و زيبا است اما اگر به صورت تصوير در بيايد تا حدودي کسل کننده خواهد شد.

راه حل چيست؟ سعي کنيد در اين منظره يکنواخت يک نقطه عطف و تمايز پيدا کنيد، نقطه اي که بتواند يکنواختي و يکدستي نما را از بين ببرد. سپس اين سوژه را روي يکي از نقاط طلايي قرار دهيد. اين نقطه اولين نگاه بيننده را جذب کرده و مخاطب را به ديدن باقي تصوير دعوت ميکند. (شکل شماره دو)

براي تعيين برخي از اندازه ها به نسبتهاي شکيل و زيبا، معروفترين فرمول، شيوه اي است که يونانيان باستان ابداع کرده اند و به " نسبت طلايي" معروف است . نسبت طلايي در اصل، فرمولي رياضي و داراي زيبايي بصري است. در اين روش : ابتدا مربع را با خطي عمود بر دو ضلع مربع به دو مستطيل مساوي تقسيم مي کنند، سپس محل تقاطع آن خط با يکي از اضلاع مربع ( نقطه X ) را مرکز دايره اي به شعاع قطر مستطيل قرار مي دهند ( فاصله X تا Y ) و با ترسيم اين دايره و تعيين محل تقاطع آن با امتداد ضلع مربع ( نقطه Z ) طول مستطيلي معروف به "مستطيل طلايي" به دست مي آيد که عرض آن برابر ضلع مربع و است و نسبت اين طول و عرض ثابت و داراي زيبايي خاصي است (نسبت اندازه پاره خط C به A با نسبت اندازه A به B يکي است) يونانيان در ساخت بسياري از اشيا و ابينه و معابد و کوره ها و . آن را به کار مي بستند.

قانون يک سوم کادر نيز در واقع همان مفهوم طلايي است. 4 خط تقسيم کننده يک کادر، خطوط طلايي و محل برخورد اين خطوط، نقاط طلايي ناميده ميشوند.

يکي از ابزارهاي ترکيب بندي عکس براي هدايت چشم بيننده به نقطه مورد نظر عکاس، مارپيچ طلايي است. استفاده از اين تکنيک در سوژه هايي که با نقاط طلايي سازگار نبوده اند قابل استفاده است. نحوه رسم مارپيچ طلايي نيز به اين صورت است.

نسبت طلايي در بدن انسان:

دانشمندان گذشته نيز از نسبت طلايي استفاده هاي زيادي کرده اند. به عنوان مثال لئوناردو داوينچي در ترسيم نقاشي معروف خود از بدن انسان از نسبت طلايي بهره گرفته است.

عکسي ديگر در رابطه با نقاشي که با استفاده از نسبت طلايي بر زيبايي آن افزوده شده:

در بدن انسان مثالهاي بسيار فراواني از اين نسبت طلايي وجود دارد. در شکل زير نسبت M/m يک نسبت طلايي است که در جاي جاي بدن انسان مي توان آنرا ديد. به عنوان مثال نقاطي از بدن که داراي نسبت طلايي هستند:

نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا

نسبت فاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج

نسبت فاصله شانه تا بالاي سر به اندازه سر

نسبت فاصله ناف تا بالاي سر به فاصله شانه تا بالاي سر

نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا

اينها تنها چند مثال از وجود نسبت طلايي در بدن انسان بود که بدن انسان را در حد کمال زيبايي خود نشان مي دهد.

در تصاوير زير نسبت خط سفيد به آبي، آبي به زرد، زرد به سبز و سبز به بنفش يک نسبت طلايي است!!

منابع و مآخذ:(با اندکي تلخيص،تصرف و ويرايش)

عکس هاي تحقيقات دکتر لوين( Dr.Levin ):

دکتر لوين يک دندانپزشک است که روي رابطه نسبت طلايي با موضع اعضاي دهان و دندان تحقيقاتي انجام داده است.

عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي

فرستنده:
مشاهده: 1106 بار

در ریاضیات سری فیبوناچی به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که بصورت زیر تعریف می‌شود :

غیر از دو عدد اول اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آید. اولین اعداد این سری عبارت‌اند از :

۰ , ۱ , ۱ , ۲ , ۳ , ۵ , ۸ , ۱۳ , ۲۱ , ۳۴ , ۵۵ , ۸۹ , ۱۴۴ , ۲۳۳ , ۳۷۷ , ۶۱۰ , ۹۸۷ , ۱۵۹۷ , ۲۵۸۴ , ۴۱۸۱ , ۶۷۶۵ , ۱۰۹۴۶

این اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده‌است .

دنباله فیبوناچی

در دوران حیات فیبوناچی مسابقات ریاضی در اروپا بسیار مرسوم بود در یکی از همین مسابقات که در سال ۱۲۲۵ در شهر پیزا توسط امپراتور فردریک دوم برگزار شده بود مسئله زیر مطرح شد :

« فرض کنیم خرگوش‌هایی وجود دارند که هر جفت (یک نر و یک ماده) از آنها که به سن ۱ ماهگی رسیده باشند به ازاء هر ماه که از زندگی‌شان سپری شود یک جفت خرگوش متولد می‌کنند که آنها هم از همین قاعده پیروی می‌کنند حال اگر فرض کنیم این خرگوشها هرگز نمی‌میرند و در آغاز یک جفت از این نوع خرگوش در اختیار عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي داشته باشیم که به تازگی متولد شده‌اند حساب کنید پس از n ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت .»

فرض کنیم xn تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد، میدانیم که x _۲ = ۱ ,x _۱ = ۱، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+ ۱ ام برابر خواهد بود با حاصلجمع تعداد جفت خرگوشهایی که در این ماه متولد می‌شوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود (x_n). اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم اکنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زادو ولد رسیده‌اند تعداد جفت خرگوشهای متولد شده برابر خواهد بود با xn- ۱، پس خواهیم داشت :

که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است .

۱ , ۱ , ۲ , ۳ , ۵ , ۸ , ۱۳ , ۲۱ , ۳۴ , ۵۵ , ۸۹ , ۱۴۴ , ۲۳۳ , ۳۷۷ , ۶۱۰ , ۹۸۷ , ۱۵۹۷ , ۲۵۸۴ ,…

فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفت‌انگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضی‌دانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشته‌های دیگر را به خود جلب کرده .

رابطهٔ دنبالهٔ فیبوناچی به این شکل است :

برای مثال برای به دست آوردن جملهٔ دهم باید جملهٔ نهم (۳۴) و جملهٔ هشتم (۲۱) را با هم جمع کنیم که برابر ۵۵ می‌شود .

[ ویرایش ] جمله عمومی دنباله فیبوناچی

چند فرمول برای احتساب جملهٔ n ام دنبالهٔ فیبوناچی، بدون استفاده از جملات ماقبل وجود دارد .

, یکی از این فرمول هاست .

( فی) همان عدد طلایی است که برابر با : می‌باشد .

[ ویرایش ] ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی

روشهای متفاوتی برای بیان رابطه بین عدد طلایی و دنباله فیبوناچی وجود دارد که ما در اینجا به دو نمونه بسنده می‌کنیم .

[ ویرایش ] نسبت دو عضو متوالی دنباله

اولین مطلبی که در زمینه ارتباط با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است: دنباله را بار دیگر در نظر می‌بینیم :

نسبت جمله دوم به اول برابر است با ۱

نسبت جمله سوم به دوم برابر است با ۲

نسبت جمله چهارم به سوم برابر است با ۱٫۵

نسبت جمله پنجم به چهارم برابر است با ۱٫۶۶

نسبت جمله ششم به پنجم برابر است با ۱٫۶

نسبت جمله هفتم به ششم برابر است با ۱٫۶۲۵

نسبت جمله هشتم به هفتم برابر است با ۱٫۶۱۵

نسبت جمله نهم به هشتم برابر است با ۱٫۶۱۹

نسبت جمله دهم به نهم برابر است با ۱٫۶۱۷

به نظر می‌رسد که این رشته به عدد طلایی نزدیک می‌شود. اگر نسبت عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ می‌رسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می‌دهد. نسبت جملات متوالی به عدد طلایی میل می‌کند .

[ ویرایش ] معادله خط

معادلهٔ خطی به صورت y=mx در نظر می‌گیریم . m به معنی شیب خط است و یک عدد حقیقی است. می‌دانیم اگر m گنگ باشد، خط y=mx از هیچ نقطه‌ای با مختصات صحیح عبور نخواهد کرد. در واقع این خط امکان ندارد از نقطهای (جز مبدأ) عبور کند که هم x و هم y آن عدد صحیح باشند. حال به جای m قرار می‌دهیم φ. یعنی خط y=φx را در نظر می‌گیریم. چون φ هم یک عدد گنگ است، این خط از هیچ نقطه‌ای با x و y صحیح (جز مبدأ) عبور نخواهد کرد. به همین دلیل نقطه‌هایی را با x و y صحیح در نظر می‌گیریم که کمترین فاصله را از این خط دارند. ابتدا به نظر می‌رسد نقطهٔ (۱، ۱) کمترین فاصله را با این خط دارد . ولی فاصلهٔ نقطهٔ (۲، ۱) از این خط کمتر است. نقطهٔ (۳، ۲) فاصلهٔ کمتری با این خط دارد. همچنین فاصلهٔ نقطهٔ (۵، ۳) از این هم کمتر است. این نقاط به همین ترتیب ادامه خواهند یافت و در زیر چند نقطهٔ بعدی را که فاصله شان از این خط کمتر می‌شود را می‌بینید. ،(۵۵، ۳۴)، (۳۴، ۲۱)، (۲۱، ۱۳ ) ، ( ۱۳، ۸ ) ، ( ۸، ۵ ) ، ( ۵، ۳ ) ، ( ۳، ۲ ) ، ( ۲، ۱ ) ، ( ۱، ۱ )

صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی است. با کمی دقت در مختصات این نقاط درخواهیم یافت که این مختصات عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي از الگوی دنباله فیبوناچی پیروی می‌کنند. این نقاط را نقاط فیبوناچی می‌نامند .

زیبایی های ریاضی

زندگی باریاضی(دانش اموزان سوم ریاضی دبیرستان شریعت)

نسبت طلایی / عدد طلایی

نسبت طلایی، عددی غیرگویا (گنگ) است که با حرف یونانی فی نمایش داده می‌شود. مقدار دقیق آن از رابطه 2/( 5 √ +1)= φ بدست می‌آید که حدود 1.618033988749894848294586834 است. بسیاری از هنرمندان معتقدند شکل‌هایی که در آن‌ها نسبت طلایی رعایت شده است، چشم‌نوازترین شکل‌های ممکن را تشکیل می‌دهند. مثال معروف آن‌ها، کاغذهای استاندارد سری A (مانند کاغذ A4 به ابعاد 210×297 میلی‌متر) است که در آن‌ها نسبت طول به عرض برابر نسبت طلایی است. نسبت طلایی هم‌چنین از رشته فیبوناچی نیز بدست می‌آید. رشته فیبوناچی یکی از جالب‌ترین رشته‌های اعداد است که در آن، عدد بعدی برابر حاصل‌جمع دو عدد قبلی است (1,1,2,3,5،8،13,21,34،55،89 و . ) و هرچه این رشته بیشتر ادامه پیدا کند، نسبت عدد بزرگ‌تر به عدد قبلی به نسبت طلایی نزدیک‌تر می‌شود.

به نام اولین معلم

سرمشق‌های آب، بابا یادمان رفت

رسم نوشتن با قلم‌ها یادمان رفت

گل کردن لبخندهای همکلاسی

در یک نگاه ساده حتی یادمان رفت

ترس از معلم، حل تمرین، پای تخته

آن لحظه های بی کلک را یادمان رفت

راه فرار از مشق‌های زنگ اول

ای وای ننوشتیم آقا، یادمان رفت!

آن روزها را آن قدر شوخی گرفتیم

جدیت "تصمیم کبری" یادمان رفت

شعر "خدای مهربان" را حفظ کردیم

یادش به خیر، اما خدا را یادمان رفت!

در گوشمان خواندند رسم آدمیت

آن حرفها را زود، اما یادمان رفت

فردا چه کاره می شويد؟ موضوع انشا

ساده نوشتیم آن قدر تا یادمان رفت

شاعر:حسین جعفر زاده آرانی
.

روزگاری شاید از این روزها یادی کنیم

اشک گرمی ,آه سردی ,داد و بیدادی کنیم

یاد امروز است و فردا خاطری ناپایدار.

روزگاری ,گریه آرند حرف های خنده دار.

حالا دیگر هدفش با روزهایی که گذشت ,

خیلی تفاوت کرده,گردهم می آییم تا مرهمی باشیم

بر دغدغه هایی که در دنیای واقعی مان ,عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي بی چاره ماندند.

به یاد تک تک لحظاتی که تلخ یا شیرین بالاخره گذشتند.
.
کاش مختصات کردارمان روی ربع اول همانطور می ماند و به سمت

آشنایی با سری فیبوناچی

باورکردنی نیست اما در سال ۱۲۰۲ لئونارد فیبوناچی (Leonardo Fibonacci) توانست به یک سری از اعداد دست پیدا کند که بعدها بعنوان پایه برای بسیاری از رابطه های فیزیک و ریاضی استفاده شد، کافی است از عدد صفر و یک شروع کنید. آنها را کنار هم بگذارید و عدد بعدی را از جمع کردن دو عدد قبل بدست آورید، بسادگی به این رشته از اعداد خواهید رسید :
۰,۱,۱,۲,۳,۵,۸,۱۳,۲۱,۳۴,۵۵,۸۹,۱۴۴, …
البته برخی از ریاضی دانان عدد صفر را جزو رشته فیبوناچی نمی دانند و یا حداقل آنرا جمله صفرم سری می دانند. نکته ای که تعجب برانگیز است آنکه اگر از عدد سوم نسبت اعداد این سری را به عدد قبلی حساب کنیم خواهیم داشت :
۱/۱, ۲/۱, ۳/۲, ۵/۳, ۸/۵, ۱۳/۸, ۲۱/۱۳, ۳۴/۲۱, ۵۵/۳۴, ۸۹/۵۵, ۱۴۴/۸۹, …
و یا :
۱, ۲, ۱.۵, ۱,۶۶۶, ۱.۶, ۱,۶۲۵, ۱.۶۱۵۳, ۱.۶۱۹۰, ۱.۶۱۷۶, ۱.۶۱۸۱, ۱.۶۱۷۹و …
بله بنظر می رسد که این رشته به سمت همان عدد طلایی معروف میل میکند. بگونه ای که اگر نرخ عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱.۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ می رسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می دهد.
بعدها محاسبات و استدلال های ریاضی نشان داد که این سری همگرا به سمت نسبت طلایی می باشد و جمله عمومی آنرا با بتقریب می توان اینگونه نمایش داد :
fn = Phi n / ۵½
که در آن Phi عدد طلایی میباشد. البته فرمول های دقیق دیگری وجود دارند که اعداد سری و یا اعداد بعدی (Successor) این سری را نمایش می دهند که دراین مطلب به آن نخواهیم پرداخت.
▪ معمای زاد و ولد خرگوش!
در واقع فیبوناچی در سال ۱۲۰۲ به مسئله عجیبی علاقمند شد. او می خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آنها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد. فرضیات اینگونه بود :
- شما یک جفت خرگوش نر و ماده دارید که همین الآن بدنیا آمده اند.
- خرگوشها پس از یک ماه بالغ می شوند.
- دوران بارداری خرگوشها یک ماه است.
- هنگامی که خرگوش ماده به سن بلوغ می رسد حتما” باردار می شود.
- در هر بار بارداری خرگوش ماده یک خرگوش نر و یک ماده بدنیا می آورد.
- خرگوش ها هرگز نمی میرند.
▪ حال سئوال اینجاست که پس از گذشت یکسال چه تعداد عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي خرگوش نر و چه تعداد خرگوش ماده خواهیم داشت؟ (پاسخ را شما بدهید)
● مارپیچ فیبوناچی
به شکل اول نگاه کنید و ببینید که به چه زیبایی از کنار هم قرار دادن تعدادی مربع می توان رشته فیبو ناچی را بصورت هندسی نمایش داد. حال اگر در هر یک از این مربع ها از نقاط قرمز ربع دایره هایی رسم کنیم در نهایب به نوعی از مارپیچ حلزونی شکل می رسیم که به مارپیچ فیبوناچی (Fibonacci Spiral) معروف می باشد. بدیهی است که نرخ رشد و باز شدن این مارپیچ متناسب با نرخ بزرگ شدن اعداد در سری فیبوناچی می باشد.
سری فیبوناچی چه در ریاضیات چه در فیزک و علوم طبیعی کاربردهای بسیار دیگری دارد، ارتباط زیبای فاصله های خوش صدا در موسیقی، چگونگی تولد یک کهکشان و … که در مطالب آینده راجع به آنها صحبت خواهیم کرد.

ریاضیات

پاره خطی را در نظر بگیرید و فرض کنید که آنرا بگونه ای تقسیم کنید که نسبت بزرگ به کوچک معادل نسبت کل پاره خط به قسمت بزرگ باشد. اگر این معادله ساده یعنی a2=ab+b را حل کنیم (کافی است بجای b عدد یک قرار دهیم عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي عدد طلايي و رشته اعداد فيبوناتچي بعد a را بدست آوریم) به نسبتی معادل تقریبا
1.61803399 یا 1.618 خواهیم رسید.

تعریف دیگر نسبت طلایی این است که «عددی مثبت است که اگر به آن یک واحد اضافه کنیم به مربع آن خواهیم رسید». تعریف هندسی آن چنین است: طول مستطیلی به مساحت واحد که عرض آن یک واحد کمتر از طولش باشد.
بسیاری از مراجع علمی، حرف یونانی φ را برای این عدد انتخاب کرده‌اند
. اگر عدد فی را بتوان دو برسانیم مثل این است که یک واحد به عدد فی افزوده باشیم یعنی Φ²=Φ+1 و اگر عدد یک را بر فی تقسیم کنیم مثل این است که یک واحد از عدد فی کم کرده باشیم یعنی :
1/Φ=Φ-1

پوسته مارپیچی یک حلزون نمونه ای ساده ودرعین حال زیبا، از نسبت طلائی است.
نسبت قطر مارپیچ های حلزون نیز نسبت 1.618 به یک را دارد.حلزون گوش انسان هم این تناسب را دارد
در یک کندوی عسل همیشه تعداد زنبورهای ماده از نرها بیشتر است. حال اگر تعداد زنبورهای ماده را به نر تقسیم کنیم در هر کندویی در هر گوشه ی کره ی خاکی یک عدد ثابت بدست می آید. که همان فی است.
در مورد دی.ان.ای ، مولکول دی.ان.ای از دو زنجیر پلی نوکئوتیدی ساخته شده. بین بازهای آلی آدنین و تیمین 2 پیوند هیدروژنی و بین بازهای آلی گوانین و سیتوزین 3 پیوند هیدروژنی وجود داره. مطلب جالب در مورد دو رشته پلی نوکلئوتیدی سازنده مولکول دی.ان.ای اینه که هر کدوم از این دوتا رشته 34 آنگستروم طول و 21 آنگستروم پهنا داره که این اعداد و تعداد پیوند ها اعداد دنباله فیبوناچی اند (جهت اطلاع اونایی که نمیدونن بگم که اگه میخواین بدونین یه آنگستروم چقدره ، برید یه متر به طول یک متر بردارید و اون یه متر رو ده میلیارد قسمت کنید هر قسمت برابر یه آمگسترومه. ) . داوینچی نخستین کسی بود که نسبت دقیق استخوان های انسان را اندازه گیری نمود و ثابت کرد که این تناسبات با ضریب عدد فی هستند.
در بدن انسان مثالهای بسیار فراوانی از این نسبت طلایی وجود دارد. در شکل زیر نسبت M/m یک نسبت طلایی است که در جای جای بدن انسان می توان آنرا دید. به عنوان مثال نقاطی از بدن که دارای نسبت طلایی هستند:
نسبت قد انسان به فاصله ناف تا پاشنه پا
نسبت فاصله نوک انگشتان تا آرنج به فاصله مچ تا آرنج
نسبت فاصله شانه تا بالای سر به اندازه سر
نسبت فاصله ناف تا بالای سر به فاصله شانه تا بالای سر
نسبت فاصله ناف تا زانو به فاصله زانو تا پاشنه پا
- هر گاه شما طول صورت فردی را به عرض ان تقسیم کنید هر چقدر این عدد به عدد طلایی نزدیکتر باشد ان فرد باهوشتر است ( ثابت نشده.)
طول هرسه بند انگشت یکی از انگشتان خود را به دلخواه اندازه بگیرید. اندازه بند بالایی را به وسطی تقسیم کنید. عددی در حدود 1.6 خواهد بود نه ؟!حال همان عمل بالا (تعیین نسبت) را در مورد بند وسط به بند کوچک انجام دهید.
این نسبت نقش پیچیده‌ای در پدیده‌هایی مانند ساختار کریستال‌ها ، سال‌های نوری فاصله بین سیارات و پریودهای چرخش ضریب شکست نور در شیشه ، ترکیب‌های موسیقی، ساختار سیاره‌ها و حیوانات بازی می‌کند . علم ثابت کرده است که این نسبت به راستی نسبت پایه و مبنای خلقت جهان است . هنرمندان دوره رونسانس عدد فی را یک نسبت الهی می‌دانسته‌اند .
در بین مثال‌های بی‌شمار از وجود این نسبت و یکی از برجسته‌ترین آنها مارپیچ های DNA است . این دو مارپیچ فاصله دقیقی را با هم براساس نسبت طلایی حفظ می‌کنند و دور یکدیگر می‌تابند
ردپای نسبت طلایی در دنیای نجوم نیز دیده می شود. در میان حلقه های زحل شکافی وجود دارد به نام کاسینی که بسیار معروف است. شاید جالب باشد که بدانید این شکاف طول حلقه زحل را به نسبت طلایی تقسیم کرده است! اگر فاصله عطارد از خورشید را به عنوان واحد در نظر بگیریم و فاصله بقیه سیاره هارا به طور نسبی (نسبت به سیاره قبلی) به دست بیاوریم به نتایج بسیار جالبی می رسیم

پرگار جالبی که ضمن حفاری در پمپی ، یکی از شهرهای ایتالیا ، در کارگاه یک مجسمه ساز پیدا شده است ، دال بر اونه که یونانی ها و رومی ها نه تنها از عدد طلایی آگاهی داشتند بلکه از اون تو عمل هم استفاده می کردند این پرگار که هم اکنون در موزهی ناپل نگه داری میشه طولی برابر 146 میلیمتر داره و به وسیله ی لولا به دو بازوی خود با طول های 56 و 90 میلیمتر تقسیم شده که نسبت این دو عدد به عدد طلایی نزدیکه. تو هنر محشر معماری که ناگفته معلومه این عدد چقدر کاربرد داره . حدود 2500 ساله که از این عدد تو معماری استفاده میشه به طور مثال در بسیاری از معبد های یونانی ، میشه بارها این نسبت رو تو بناها پیدا کرد مثلا ً در معبد پارتئون (معبد دختر) که در بین سالهای 447 تا 338 پیش از میلاد مسیح تو آکروپولیس تو آتن ساخته شده و عظیم ترین یادگار هنر معماری یونان باستان هستش، نسبت ارتفاع تمامی ساختمان به طول تیر بزرگ برابر عدد طلایی است .

در قرون وسطا برای نسبت طلایی مفهومی عرفانی و خرافی قائل بودند. معماران قرون وسطا رازهای مربوط به پیدا کردن نسبت ها از جمله نسبت طلایی رو با دقت از دیگران پنهان میکردند ،از جمله اوسقف شهر اوترخت به این دلیل که با حیله تونسته بود به روش یافتن نسبت ها تو ساختمان کلیسا ها پی ببره ، جان خودش رو از دست داد. از جمله آثار قرون وسطا که عدد طلایی تو اون به چشم میخوره میشه به یکی از شاهکارهای معماری سده ی دوازدهم میلادی ، کلیسای اوس پنسکی در چرنیگوف (جمهوری اوکراین) اشاره کرد که اگه نسبت اندازه ها تو قسمت های مختلف رو کلیسا رو محاسبه کنیم همه جا به تقریب به عدد طلایی میرسیم.

بعضی از هنرمندای مجسمه ساز هم از این نسبت استفاه میکنند . به طور مثال برای تقسیم بندی نقاط مختلف صورت میشه از نسبتهای طلایی که در بالا گفتم استفاده کرد اینجوری هم کار طبیعی تر جلوه داده میشه هم به چشم ناظر زیباتر دیده میشه که همش تاثیر عدد طلایی هستش .
در موسیقی هم عدد طلایی یافت شده . به طور مثال سر و حلقه ویلن در مستطیل طلایی قرار میگیرد و کاسه آن از دوایری تشکیل شده که نسبت قطر اونا عدد طلایی هستش . زمانی صدای ساز زیبا جلوه میکنه که نسبت دامنه امواج صوت به عدد طلایی میل کنه و اما در خوشنویسی ، استاد میر عماد با تغییراتی که تو خطوط پیشینیان انجام داد و اضافات و ناخالصی ها رو از پیکره نستعلیق حذف کرد استاد میرعماد نسبت های اجزای حروف و کلمات رو به درجه ی اعلای زیبایی یعنی نسبت طلایی نزدیک کرد . با بررسی اکثریت قاطع حروف و کلمات استاد متوجه میشویم که این نسبت به عنوان یک الگو تو تار و پود حروف و واژه ها وجود داره و زاویه 63.448 درجه که مبنای ترسیم مستطیل طلایی است ، در شروع قلم گذاری و ادامه رانش قلم حضوری تعیین کننده داره.این کارها قطعا ً نتیجه شعور و حس زیبایی شناسی استاد میر عماد هستش نه آگاهی از از فرمول تقسیم طلایی و دیدگاه هندسی و علوم ریاضی کسی و بگیم یه مستطیل بکش ، تو اغلب موارد این نسبت اضلاع این مستطیل به عدد طلایی نزدیکه چون ذهن ما به طور ناخودآگاه اینو میخواد. من خودم اینو امتحان کردم . مستطیلی که طرف مقابل برام کشید تا 3 رقم اعشار با عدد طلایی یکسان بود . ) همچنین استاد میر عماد این نسبتها رو تو فاصله بین دو سطر و مجموعه دو سطر چلیپاها و کادرهای کتابت و قطعات رعایت کرده

نسبت دو عضو متوالی دنباله
اولین مطلبی که در زمینه ارتباط با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است: دنباله را بار دیگر در نظر می‌بینیم:
۱۰-------۹--------۸--------۷---------۶-------۵-------۴-------۳-------۲-------۱-------شماره جمله
۵۵------۳۴------۲۱-------۱۳-------۸-------۵-------۳-------۲-------۱-------۱-------مقدار جمله
نسبت جمله دوم به اول برابر است با ۱
نسبت جمله سوم به دوم برابر است با ۲
نسبت جمله چهارم به سوم برابر است با ۱٫۵
نسبت جمله پنجم به چهارم برابر است با ۱٫۶۶
نسبت جمله ششم به پنجم برابر است با ۱٫۶
نسبت جمله هفتم به ششم برابر است با ۱٫۶۲۵
نسبت جمله هشتم به هفتم برابر است با ۱٫۶۱۵
نسبت جمله نهم به هشتم برابر است با ۱٫۶۱۹
نسبت جمله دهم به نهم برابر است با ۱٫۶۱۷
به نظر می‌رسد که این رشته به عدد طلایی نزدیک می‌شود. اگر نسبت عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ می‌رسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می‌دهد. نسبت جملات متوالی به عدد طلایی میل می‌کند.

علم ریاضی؛علم طبیعت وشناسایی محیط اطراف خود به صورت قانونمند است.استدلالات ریاضی از بطن طبیعت خیزش یافته است ,آن کس که به طبیعت احترام قائل است این علم را محترم می شمرد,هر چقدر دانش ودانایی وکنکاش نسبت به طبیعت و پدیده های اطراف آن بیشتر باشد ,قوانین و استدلالات این علم را بهتر درک خواهیم کرد؛آنجا که قوانین نسبت طلایی در صدف حلزون رونمایی می کند وآن را با استنتاجات ریاضی به اثبات میرسانیم متوجه رابطه عمیق این علم با طبیعت خواهیم شد همچنین نسبت طلایی در ثبات اندازه دست وپا و قد در بدن انسان که به یک نسبت ثابت تغییر میکنند ما را بیشتر متوجه رابطه این علم با انفس خویش می گرداند یا نمونه های بارز دیگر در طبیعت.